ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА,
ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 

Ройтенберг Владимир Шлеймович, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Ярославский государственный технический университет (Россия, г. Ярославль, Московский проспект, 88), E-mail: vroitenberg@mail.ru 

517.925 

DOI

10.21685/2072-3040-2019-1-4 

Актуальность и цели. Для теории дифференциальных уравнений и ее приложений представляет интерес изучение структуры типичных динамических систем с симметрией. Для двумерных автономных систем, инвариантных относительно группы растяжений, а также группы вращений и ее конечных подгрупп, такие исследования уже опубликованы. В настоящей статье рассматриваются периодические системы дифференциальных уравнений в единичном круге D на плоскости, инвариантные относительно группы вращений. Целью работы является описание открытого и всюду плотного множества в пространстве S таких систем.
Материалы и методы. Используются методы качественной теории дифференциальных уравнений и функционального анализа.
Результаты и выводы. Получен канонический вид рассматриваемых дифференциальных систем в полярных координатах. Описаны структуры фазовых портретов типичных систем из S. Получены необходимые и достаточные условия грубости систем относительно пространства S. Показано, что грубые системы не плотны в пространстве S. 

Ключевые слова

периодическая система дифференциальных уравнений, группа вращений, инвариантность, симметрия, типичность, грубость 

 Скачать статью в формате PDF

1. Ройтенберг, В. Ш. О типичных однородных векторных полях на плоскости / В. Ш. Ройтенберг // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2018. – № 2 (46). – С. 15–26.
2. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд. – Москва : Наука, 1978. – 304 с.
3. Lamb, J. S. W. Time-reversal symmetry in dynamical systems: A survey / J. S. W. Lamb, J. A. G. Roberts // Physica D. – 1998. – Vol. 112, № 1–2. – P. 1–39.
4. Лерман, Л. М. О бифуркациях потери симметрии в обратимых системах / Л. М. Лерман, Д. В. Тураев // Нелинейная динамика. – 2012. – T. 8, № 2. – С. 323–343.
5. Ройтенберг, В. Ш. Грубость векторных полей на плоскости, инвариантных относительно группы вращений / В. Ш. Ройтенберг // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер.: Математика. Физика. – 2018. –
Т. 50, № 4. – С. 398–404.
6. Ройтенберг, В. Ш. Грубость векторных полей на плоскости, инвариантных относительно конечной группы вращений / В. Ш. Ройтенберг // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер.: Естественно-математические и технические науки. – 2018. – № 3 (226). – С. 13–19.
7. Гантмахер, Ф. М. Теория матриц / Ф. М. Гантмахер. – Москва : Наука, 1967. – 576 с.
8. Голу бицкий, М. Устойчивые отображения и их особенности : пер. с англ. / М. Голубицкий, В. Гийемин. – Москва : Мир, 1973. – 290 с.
9. Ройтенберг, В. Ш. О грубости уравнений Абеля с периодическими коэффициентами / В. Ш. Ройтенберг // Ярославский педагогический вестник. – 2012. – Т. 3, № 3. – C. 16–21.
10. Палис, Ж. Геометрическая теория динамических систем. Введение : пер. с англ. / Ж. Палис, В. Мелу. – Москва : Мир, 1986. – 301 с.